Question

15．四边形ABCD中，∠DAB=120°，点B在CD垂直平分线上，点F在边AB上，且与点D关于直线AC对称，若AF=3，FB=2，则FC=7．

Answer 1

分析 连接BD，作DG⊥AB交BA的延长线于G，BH⊥AC于H，由AC垂直平分DF，得到AD=AF=3，解直角三角形得到BD=$\sqrt{B{G}^{2}+D{G}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{13}{2}）^{2}+（\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=7根据垂直平分线的性质得到BC=BD=7，根据你过得了得到CH=$\sqrt{B{C}^{2}-B{H}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}-（\frac{5\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{11}{2}$，然后又勾股定理即可得到结论．

解答 解：连接BD，作DG⊥AB交BA的延长线于G，BH⊥AC于H，
∵AC垂直平分DF，
∴AD=AF=3，
∵∠DAB=120°，
∴∠DAG=60°，
∴DG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，AG=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{3}{2}$，
∴BG=$\frac{13}{2}$，
∴BD=$\sqrt{B{G}^{2}+D{G}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{13}{2}）^{2}+（\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=7，
∵点B在CD垂直平分线上，
∴BC=BD=7，
∵BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，AH=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
∴CH=$\sqrt{B{C}^{2}-B{H}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}-（\frac{5\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{11}{2}$，
∴AC=AH+CH=8，
∵CE=AC=AE=8-$\frac{3}{2}$=$\frac{13}{2}$，EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴CF=$\sqrt{E{F}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\frac{13}{2}）^{2}}$=7．
故答案为：7．

点评 本题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．