Question

11．如图（1），在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，P是AD的中点，N是BC延长线上一点，连结PN，过点P作PN的垂线，交AB于点E，交CD的延长线于点F，连结EN，FN，设CN=x，AE=y．
（1）求证：PE=PF；
（2）当0＜x＜$\frac{7}{3}$时，求y关于x的函数表达式；
（3）若将“矩形ABCD”变为“菱形ABCD”，如图（2），AB=BC=4，∠B=60°，当0＜x＜3时，其它条件不变，求此时y关于x的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）证△APE≌△DPF即可得；
（2）过点N作NQ⊥AD交AD延长线于Q，可得四边形CDQN是矩形，从而表示出PQ、NQ的长，再证△APE∽△QNP可得$\frac{AP}{QN}=\frac{AE}{PQ}$，据此可得函数解析式；
（3）过点N作NQ∥CD交AD延长线于点Q，可得四边形CDQN是平行四边形，据此知PQ=2+x、NQ=4，再过点N作NH⊥PQ于H，由∠DQN=60°得HQ=2、NH=2$\sqrt{3}$，从而表示出PH的长，过点E作EG⊥DA交DA延长线于G，由AE=y、∠GAE=∠B=60°得AG、EG的长，继而可得PG的长，最后证△PEG∽△NPD得$\frac{PG}{NH}=\frac{EG}{PH}$，据此即可得答案．

解答 解：（1）∵P是AD的中点，四边形ABCD是矩形，
∴AP=DP，∠A=∠PDF=90°，
在△APE和△DPF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠PDF}\\{AP=DP}\\{∠APE=∠DPF}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△DPF（ASA），
∴PE=PF；

（2）如图1，过点N作NQ⊥AD交AD延长线于Q，

∴四边形CDQN是矩形，
∴CN=DQ=x，CD=NQ=4，
又∵AD=BC=6，P是AD中点，
∴AP=PD=3，
∴PQ=3+x，
∵NP⊥EF，
∴∠APE+∠NPQ=90°，
∵∠APE+∠AEP=90°，
∴∠NPQ=∠PEA，
∵∠A=∠PQN=90°，
∴△APE∽△QNP，
∴$\frac{AP}{QN}=\frac{AE}{PQ}$，即$\frac{3}{4}=\frac{y}{3+x}$，
∴y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{4}$；

（3）如图2，过点N作NQ∥CD交AD延长线于点Q，

∴四边形CDQN是平行四边形，
∴CN=DQ=x，CD=NQ=4，
∵PD=PA=$\frac{1}{2}$AD=2，
∴PQ=2+x，
过点N作NH⊥PQ于H，
∵∠DQN=∠DCN=∠B=60°，
∴HQ=NQcos∠DQN=4×$\frac{1}{2}$=2，NH=NQsin∠DQN=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴PH=PQ-HQ=x，
过点E作EG⊥DA交DA延长线于G，
∵AE=y，∠GAE=∠B=60°，
∴AG=AEcos∠GAE=$\frac{1}{2}$y，EG=AEsin∠GAE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$y，
∴PG=PA+AG=2+$\frac{1}{2}$y，
∵∠EGP=∠PHN=∠EPN=90°，
∴∠EPG+∠PEG=∠EPG+∠NPD=90°，
∴∠PEG=∠NPD，
∴△PEG∽△NPD，
∴$\frac{PG}{NH}=\frac{EG}{PH}$，即$\frac{2+\frac{1}{2}y}{2\sqrt{3}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}y}{x}$，
∴y=$\frac{4x}{6-x}$．

点评 本题主要考查全等三角形的判定与性质、矩形与菱形的判定与性质及相似三角形的判定与性质、三角函数的应用，类比思想的运用是解题的关键．