Question

16．如图，矩形OABC顶点B的坐标为（8，3），定点D的坐标为（12，0），动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，动点Q从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴的负方向匀速运动，PQ两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以PQ为斜边在x轴上方作等腰直角三角形PQR．设运动时间为t秒．
（1）当t=1时，△PQR的边QR经过点B；
（2）设△PQR和矩形OABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）△PQR的边QR经过点B时，△ABQ构成等腰直角三角形，则有AB=AQ，由此列方程求出t的值；
（2）在图形运动的过程中，有三种情形，当1＜t≤2时，当1＜t≤2时，当2＜t≤4时，进行分类讨论求出答案．

解答 解：（1）△PQR的边QR经过点B时，△ABQ构成等腰直角三角形，
∴AB=AQ，即3=4-t，
∴t=1．
即当t=1秒时，△PQR的边QR经过点B．
故答案为：1；

（2）①当0≤t≤1时，如答图1-1所示．

设PR交BC于点G，
过点P作PH⊥BC于点H，则CH=OP=2t，GH=PH=3．
S=S_矩形OABC-S_梯形OPGC
=8×3-$\frac{1}{2}$（2t+2t+3）×3
=$\frac{39}{2}$-6t；
②当1＜t≤2时，如答图1-2所示．

设PR交BC于点G，RQ交BC、AB于点S、T．
过点P作PH⊥BC于点H，则CH=OP=2t，GH=PH=3．
QD=t，则AQ=AT=4-t，
∴BT=BS=AB-AQ=3-（4-t）=t-1．
S=S_矩形OABC-S_梯形OPGC-S_△BST
=8×3-$\frac{1}{2}$（2t+2t+3）×3-$\frac{1}{2}$（t-1）²
=-$\frac{1}{2}$t²-5t+19；
③当2＜t≤4时，如答图1-3所示．

设RQ与AB交于点T，则AT=AQ=4-t．
PQ=12-3t，∴PR=RQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（12-3t）．
S=S_△PQR-S_△AQT
=$\frac{1}{2}$PR²-$\frac{1}{2}$AQ²
=$\frac{1}{4}$（12-3t）²-$\frac{1}{2}$（4-t）²
=$\frac{7}{4}$t²-14t+28．
综上所述，S关于t的函数关系式为：
S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{39}{2}-6t（0≤t≤1）}\\{-\frac{1}{2}{t}^{2}-5t+19（1＜t≤2）}\\{{\frac{7}{4}t}^{2}-14t+28（2＜t≤4）}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查了四边形综合，涉及动点与动线，复杂度较高，难度较大，第（2）问中，注意分类讨论周全，不要遗漏．