Question

3．如图，直线OC、BC的函数关系式分别是y₁=x和y₂=-2x+6，动点P（x，0）在OB上运动（0＜x＜3），过点P作直线m与x轴垂直．
（1）求点B、点C的坐标，并求△COB的面积．
（2）当x取何值时y₁=y₂；当x取何值时y₁＞y₂．
（3）当x为1时，直线m交OC于Q点，求△OPQ的面积．
（4）设△COB中位于直线m左侧部分的面积为s，求出s与x之间函数关系式．

Answer 1

分析 （1）根据线OC、BC的函数关系式分别是y₁=x和y₂=-2x+6，即可求得点B、点C的坐标，和△COB的面积；
（2）当y₁=y₂时，x=-2x+6；当y₁＞y₂时，x＞-2x+6，分别解方程和不等式即可得出x的取值情况；
（3）当x为1时，y₁=x=1，进而得到Q（1，1），P（1，0），据此求得△OPQ的面积即可；
（4）有两种情况：①当0＜x≤2，此时直线m左侧部分是△PQO，由于P（x，0）在OB上运动，所以PQ，OP都可以用x表示，所以s与x之间函数关系式即可求出；②当2＜x＜3，此时直线m左侧部分是四边形OPQC，可运用割补法进行计算求解．

解答 解：（1）在直线y₂=-2x+6中，令y=0，则x=3，
∴B（3，0），即OB=3，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-2x+6}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴C点坐标为（2，2），
∴△COB的面积=$\frac{1}{2}$×3×2=3；

（2）当y₁=y₂时，x=-2x+6，
解得x=2，
当y₁＞y₂时，x＞-2x+6，
解得x＞2，
故当x取2时y₁=y₂；当x＞2时，y₁＞y₂；

（3）当x为1时，y₁=x=1，
∴Q（1，1），P（1，0），
∴△OPQ的面积=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$；

（4）分两种情况：
①如图所示，当0＜x≤2时，则可得OP=x，EP=x，

此时s=$\frac{1}{2}$OP×PE=$\frac{1}{2}$x²；

②如图所示，当2＜x＜3时，过点C作CF⊥x轴于F，则CF=2=OF，EP=-2x+6，PF=x-2，

∴S_△OCF=$\frac{1}{2}$OF×CF=2，
S_梯形EPFC=$\frac{1}{2}$（EP+CF）×FP=$\frac{1}{2}$（-2x+6+2）×（x-2）=-x²+6x-8．
∴S=S_△OCF+S_梯形EPFC=2+（-x²+6x-8）=-x²+6x-6，
综上所述，S与x的函数关系式为：S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}^{2}（0＜x≤2）}\\{-{x}^{2}+6x-6（2＜x＜3）}\end{array}\right.$．

点评 此题属于三角形综合题，主要考查平面直角坐标系中图形的面积的求法以及一次函数的应用．解答此题的关键是根据一次函数的特点，分别求出各点的坐标再得出线段的长．解题的难点在第（4）问，关键是根据点C的坐标，分段求出s与x的关系式．解题时注意分类思想和数形结合思想的运用．