Question

15．如图，在⊙O中，直径AB平分弦CD，AB与CD相交于点E，连接AC、BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA=∠B．
（1）求证：CF是⊙O的切线．
（2）若AC=4，CE=2AE，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠OCF=90°，进而得出答案；
（2）利用垂径定理推论得出$\widehat{AD}$=$\widehat{AC}$，得出∠B=∠ACD，然后通过证得△ABC∽△ACE，对应边成比例得出BC的长，再利用勾股定理求出即可．

解答 （1）证明：连接CO，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∵OB=CO，
∴∠B=∠OCB，
∵∠FCA=∠B，
∴∠BCO=∠ACF，
∴∠OCA+∠ACF=90°，
即∠OCF=90°，
∴CF是⊙O的切线；

（2）解：∵直径AB平分弦CD，
∴AB⊥DC，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{AC}$，
∴∠B=∠ACD，
∵∠ACB=∠AEC=90°，
∴△ABC∽△ACE，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{CE}{AE}$
∵AC=4，CE=2AE，
∴BC=8，
∴在Rt△ABC中，
AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
则⊙O的半径为：2$\sqrt{5}$．

点评 此题主要考查了切线的判定、垂径定理的推论、三角形相似的判定和性质以及勾股定理等知识，得出BC的长是解题关键．