Question

19．如图，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到△EBD，点E、点D分别与点A、点C对应，且点D在边AC上，边DE交边AB于点F，△BDC∽△ABC．已知BC=$\sqrt{10}$，AC=5，那么△DBF的面积等于$\frac{45}{16}$．

Answer 1

分析 根据相似三角形的性质得到$\frac{BC}{CD}=\frac{AC}{BC}$，∠CBD=∠A，得到CD=2，AD=3，根据旋转的性质得到∠ABC=∠EBD，∠E=∠A，AB=BE，DE=AC，得到∠EBF=∠A，根据平行线的判定和性质得到∠ADF=∠E，等量代换得到∠E=∠EBF=∠A=∠ADF，根据等腰三角形的判定得到EF=BF，AF=DF，得到AB=DE=AC=5，根据相似三角形的性质得到$\frac{DF}{DE}$=$\frac{3}{8}$，过A 作AH⊥BC于H，于是得到结论．

解答 解：∵△BDC∽△ABC，
∴$\frac{BC}{CD}=\frac{AC}{BC}$，∠CBD=∠A，
∴CD=$\frac{B{C}^{2}}{AC}$，
∵BC=$\sqrt{10}$，AC=5，
∴CD=2，
∴AD=3，
∵将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到△EBD，
∴∠ABC=∠EBD，∠E=∠A，AB=BE，DE=AC，
∴∠EBF=∠CBD，
∴∠EBF=∠A，
∴BE∥AC，
∴∠ADF=∠E，
∴∠E=∠EBF=∠A=∠ADF，
∴EF=BF，AF=DF，
∴AF+BF=EF+DF，
即AB=DE=AC=5，
∵AD∥BE，
∴△ADF∽△BEF，
∴$\frac{DF}{EF}$=$\frac{AD}{BE}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{DF}{DE}$=$\frac{3}{8}$，
过A 作AH⊥BC于H，
∴AH=$\sqrt{{5}^{2}-（\frac{\sqrt{10}}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
∵S_△BDE=S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{10}$×$\frac{3\sqrt{10}}{2}$=$\frac{15}{2}$，
∴△DBF的面积=$\frac{3}{8}$S_△ABC=$\frac{45}{16}$．
故答案为：$\frac{45}{16}$．

点评 本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．