已知:一次函数y=-2x+10的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象相交于A.B两点．时.求反比例函数的解析式及B点的坐标,的条件下.反比例函数图象的另一支上是否存在一点P.使△PAB是以AB为直角边的直角三角形?若存在.求出所有符合条件的点P的坐标,若不存在.请说明理由．.B时.直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C.连� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．已知：一次函数y=-2x+10的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）．
（1）当A（4，2）时，求反比例函数的解析式及B点的坐标；
（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当A（a，-2a+10），B（b，-2b+10）时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C，连接BC交y轴于点D．若$\frac{BC}{BD}$=$\frac{5}{2}$，求△ABC的面积．

分析（1）只需把点A的坐标代入反比例函数的解析式，就可求出反比例函数的解析式；解一次函数与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点B的坐标；
（2）△PAB是以AB为直角边的直角三角形，可分两种情况讨论：①若∠BAP=90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，易得OE=5，OH=4，AH=2，HE=1．易证△AHM∽△EHA，根据相似三角形的性质可求出MH，从而得到点M的坐标，然后用待定系数法求出直线AP的解析式，再解直线AP与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点P的坐标；②若∠ABP=90°，同理即可得到点P的坐标；
（3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，易证△CTD∽△BSD，根据相似三角形的性质可得$\frac{CT}{BS}$=$\frac{CD}{BD}$=$\frac{3}{2}$．由A（a，-2a+10），B（b，-2b+10），可得C（-a，2a-10），CT=a，BS=b，即可得到$\frac{a}{b}$=$\frac{3}{2}$，即b=$\frac{2}{3}$a．由A、B都在反比例函数的图象上可得a（-2a+10）=b（-2b+10），把b=$\frac{2}{3}$a代入即可求出a的值，从而得到点A、B、C的坐标，运用待定系数法求出直线BC的解析式，从而得到点D的坐标及OD的值，然后运用割补法可求出S_△COB，再由OA=OC可得S_△ABC=2S_△COB，问题得以解决．

解答解：（1）把A（4，2）代入y=$\frac{k}{x}$，得k=4×2=8．
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{8}{x}$．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+10}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$，得
$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴点B的坐标为（1，8）；

（2）①若∠BAP=90°，
过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，
对于y=-2x+10，
当y=0时，-2x+10=0，解得x=5，
∴点E（5，0），OE=5．
∵A（4，2），∴OH=4，AH=2，
∴HE=5-4=1．
∵AH⊥OE，∴∠AHM=∠AHE=90°．
又∵∠BAP=90°，
∴∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠MAH=90°，
∴∠MAH=∠AEM，
∴△AHM∽△EHA，
∴$\frac{AH}{EH}$=$\frac{MH}{AH}$，
∴$\frac{2}{1}$=$\frac{MH}{2}$，
∴MH=4，
∴M（0，0），
可设直线AP的解析式为y=mx
则有4m=2，解得m=$\frac{1}{2}$，
∴直线AP的解析式为y=$\frac{1}{2}$x，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$，得
$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴点P的坐标为（-4，-2）．
②若∠ABP=90°，
同理可得：点P的坐标为（-16，-$\frac{1}{2}$）．
综上所述：符合条件的点P的坐标为（-4，-2）、（-16，-$\frac{1}{2}$）；

（3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，
则有BS∥CT，
∴△CTD∽△BSD，
∴$\frac{CD}{BD}$=$\frac{CT}{BS}$．
∵$\frac{BC}{BD}$=$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{CT}{BS}$=$\frac{CD}{BD}$=$\frac{3}{2}$．
∵A（a，-2a+10），B（b，-2b+10），
∴C（-a，2a-10），CT=a，BS=b，
∴$\frac{a}{b}$=$\frac{3}{2}$，即b=$\frac{2}{3}$a．
∵A（a，-2a+10），B（b，-2b+10）都在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴a（-2a+10）=b（-2b+10），
∴a（-2a+10）=$\frac{2}{3}$a（-2×$\frac{2}{3}$a+10）．
∵a≠0，
∴-2a+10=$\frac{2}{3}$（-2×$\frac{2}{3}$a+10），
解得：a=3．
∴A（3，4），B（2，6），C（-3，-4）．
设直线BC的解析式为y=px+q，
则有$\left\{\begin{array}{l}{2p+q=6}\\{-3p+q=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{p=2}\\{q=2}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=2x+2．
当x=0时，y=2，则点D（0，2），OD=2，
∴S_△COB=S_△ODC+S_△ODB
=$\frac{1}{2}$OD•CT+$\frac{1}{2}$OD•BS
=$\frac{1}{2}$×2×3+$\frac{1}{2}$×2×2=5．
∵OA=OC，
∴S_△AOB=S_△COB，
∴S_△ABC=2S_△COB=10．

点评本题主要考查了运用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式、求反比例函数及一次函数图象的交点、三角形的中线平分三角形的面积、相似三角形的判定与性质、三角形外角的性质、直角三角形两锐角互余等知识，在解决问题的过程中，用到了分类讨论、数形结合、割补法等重要的数学思想方法，应熟练掌握．

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