Question

已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，即OF⊥AB，OE⊥AC，OF＝OE，且OB＝OC．

(1)如图，若点O在BC上，求证：AB＝AC；

(2)如图，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC；

(3)若点O在△ABC外部，猜想：AB＝AC还成立吗？请画图，并加以证明．

Answer 1

答案：
解析：

(1)(3分)证明：∵OF⊥AB，OE⊥AC 　　∴∠OEC＝∠OFB＝900 　　在Rt△OEC和Rt△OFB中 　　 　　∴Rt△OEC≌Rt△OFB　　2分 　　∴∠B＝∠C 　　∴AB＝AC　　3分 　　(2)(3分)证明：由(1)同理可得Rt△OEC≌Rt△OFB 　　∴∠OBF＝∠OCE 　　又∵OB＝OC　∴∠OBC＝∠OCB　　2分 　　∴∠OBF＋∠OBC＝∠OCE＋∠OCB 　　即∠ABC＝∠ACB 　　∴AB＝AC　　3分 　　(3)(4分)解：猜想AB＝AC仍成立　　1分 　　证明：如图 　　2分 　　由(1)同理可得Rt△OEC≌Rt△OFB 　　∴∠OBF＝∠OCE 　　又∵OB＝OC　∴∠OBC＝∠OCB 　　又∵∠ABC＝1800－∠OBF－∠OBC 　　∠ACB＝1800－∠OCE－∠OCB 　　∴∠ABC＝∠ACB 　　∴AB＝AC　　4分