Question

5．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC=2$\sqrt{3}$，点M，N分别从B，C同时出发，以相同速度沿BC，CD运动，连接AM，BN交于点P，求DP的最小值．

Answer 1

分析 根据菱形的性质证得AB=BC=CD=DA=2$\sqrt{3}$，AC⊥BD，进而证得△ABC和△ACD是等边三角形，求得OD=3，根据题意得出AM与AC重合，BN与BD重合时，DP有最小值，即可求得DP的最小值为OD的长．

解答 解：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA=2$\sqrt{3}$，AC⊥BD，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC和△ACD是等边三角形，
∴OD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD=3，
∵点M，N分别从B，C同时出发，以相同速度沿BC，CD运动，
∴M到达C点，N正好到达D点，此时AM与AC重合，BN与BD重合，AM⊥BN，
∴此时DP的值最小，最小值为3．

点评 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．