Question

如图，AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，D是⊙O上的一点，DE⊥AB于点E，且DE的延长线分别交AC、⊙O、BC的延长线于F、M、G。

（1）求证：AE?BE＝EF?EG；

（2）连结BD，若BD⊥BC，且EF＝MF＝2，求AE和MG的长。

Answer 1

证明：（1）∵AB是⊙O的直径，DE⊥AB

          ∴∠ACB＝∠BEG＝∠AEF＝90⁰

          ∴∠G＋∠B＝∠A＋∠B＝90⁰

          即∠G＝∠A

          ∴Rt△AEF∽Rt△GEB

          ∴，即

（2）∵DE⊥AB

∴DE＝EM＝4

连结AD，∵AB是⊙O的直径，BD⊥BC

∴∠ACB＝∠ADB＝∠DBC＝90⁰

∴∠DAF＝90⁰

由Rt△AEF∽Rt△ADE可得

∴

由相交弦定理可得

∴

∴

∴MG＝EG－EM＝8－4＝4