Question

5．（1）观察下列各式：$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$；$\frac{1}{12}$=$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$$-\frac{1}{4}$；$\frac{1}{20}$=$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$$-\frac{1}{5}$；…，由此可推断$\frac{1}{42}$=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{7}$；
（2）请猜想能表示（1）的特点的一般规律，用含字母m的等式表示出来；
（3）请用（2）中的规律解方程：$\frac{1}{（x-2）（x-3）}$$+\frac{1}{（x-1）（x-2）}$=$\frac{1}{x-1}$．

Answer 1

分析 （1）仿照已知等式得到结果即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）方程利用得出的规律变形，计算即可求出解．

解答 解：（1）根据题意得：$\frac{1}{42}$=$\frac{1}{6×7}$=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{7}$；
（2）根据题意得：$\frac{1}{m（m+1）}$=$\frac{1}{m}$-$\frac{1}{m+1}$；
（3）方程整理得：$\frac{1}{x-3}$-$\frac{1}{x-2}$+$\frac{1}{x-2}$-$\frac{1}{x-1}$=$\frac{1}{x-1}$，即$\frac{1}{x-3}$=$\frac{2}{x-1}$，
去分母得：x-1=2x-6，
解得：x=5，
经检验x=5是分式方程的解．
故答案为：（1）$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{7}$

点评 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．