题目内容
两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A=60°，AC=1．固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：（1）如图1，△DEF沿线段AB向右平移（即D点在线段AB内移动），连接DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，它的面积是否变化？如果不变请求出其面积；如果变化，说明理由．
（2）如图2，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由．
（3）如图3，△DEF的D点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，使DF落在AB边上，此时F点恰好与B点重合，连接AE，请你求出sin∠DEA的值．
【答案】分析：（1）首先利用平移的性质得出CF=AD，CF∥AD，即可得出S梯形CDBF=S△ABC求出即可；
（2）首先利用CD∥BF，FC∥BD，得出四边形CDBF是平行四边形，再利用CB⊥DF即可得出四边形CDBF是菱形；
（3）利用三角形面积得出DH的长，再利用锐角三角函数关系得出sin∠DEA的值即可．
解答：
解：（1）它的面积不变，
理由：过C点作CG⊥AB于G，
∵△DEF沿线段AB向右平移（即D点在线段AB内移动），
∴CF=AD，CF∥AD，
在Rt△AGC中，
∵sin60°=
，
∴
∵AB=2，
∴S梯形CDBF=S△ABC=
；
（2）四边形CDBF的形状为：菱形，
理由：∵CD∥BF，FC∥BD，
∴四边形CDBF是平行四边形，
∵DF∥AC，∠ACB=90°，
∴CB⊥DF，
∴四边形CDBF是菱形；
（3）解法一：过D点作DH⊥AE于H，
则S△ADE=
又S△ADE=
，
DH=
=
=
，
∴在Rt△DHE′中，sin∠DEA=
=
=
；
解法二：∵△ADH∽△ABE，
即：
∴
=
，
∴sin∠DEA=
=
=
．
点评：此题主要考查了锐角三角函数关系以及相似三角形的判定与性质和菱形的判定以及三角形面积求法等知识，利用平移性质得出对应边之间的关系是解题关键．
（2）首先利用CD∥BF，FC∥BD，得出四边形CDBF是平行四边形，再利用CB⊥DF即可得出四边形CDBF是菱形；
（3）利用三角形面积得出DH的长，再利用锐角三角函数关系得出sin∠DEA的值即可．
解答：
解：（1）它的面积不变，理由：过C点作CG⊥AB于G，
∵△DEF沿线段AB向右平移（即D点在线段AB内移动），
∴CF=AD，CF∥AD，
在Rt△AGC中，
∵sin60°=
，∴
∵AB=2，
∴S梯形CDBF=S△ABC=
；（2）四边形CDBF的形状为：菱形，
理由：∵CD∥BF，FC∥BD，
∴四边形CDBF是平行四边形，
∵DF∥AC，∠ACB=90°，
∴CB⊥DF，
∴四边形CDBF是菱形；
（3）解法一：过D点作DH⊥AE于H，
则S△ADE=
又S△ADE=
，DH=
==，∴在Rt△DHE′中，sin∠DEA=
==；解法二：∵△ADH∽△ABE，
即：
∴
=，∴sin∠DEA=
==．点评：此题主要考查了锐角三角函数关系以及相似三角形的判定与性质和菱形的判定以及三角形面积求法等知识，利用平移性质得出对应边之间的关系是解题关键．
练习册系列答案
名校课堂系列答案
相关题目
曾任美国总统的加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理的证明．如图，这就是他用两个全等的直角三角形拼出的图形．上面的图形整体上拼成一个直角梯形．所以它的面积有两种表示方法．既可以表示为