Question

14．如图所示，已知二次函数经过点B（3，0），C（0，3），D（4，-5）
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）若P是抛物线上一点，且S_△ABP=$\frac{1}{2}$S_△ABC，这样的点P有几个请直接写出它们的坐标．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，把点B（3，0），C（0，3），D（4，-5）分别代入求出a，b，c即可．
（2）求得A的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；
（3）根据题意求得S_△ABP=3，设P的纵坐标为n，根据三角形面积公式得出$\frac{1}{2}$AB•|n|=3，解得n=±$\frac{3}{2}$，代入抛物线的解析式即可求得．

解答 解：（1）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
由题意可得函数经过B（3，0），C（0，3），D（4，-5）三点
$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+c=0}\\{c=3}\\{16a+4b+c=-5}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
所以二次函数的解析式为y=-x²+2x+3；
（2）由题意得，-x²+2x+3=0   x₁=-1，x₂=3，
∴A点坐标为（-1，0），
∵AB=4，OC=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4×3=6；
（3）设P的纵坐标为n，
∵S_△ABP=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴S_△ABP=3，
即$\frac{1}{2}$AB•|n|=3，解得n=±$\frac{3}{2}$，
∴±$\frac{3}{2}$=-x²+2x+3，解x=$\frac{2±\sqrt{10}}{2}$或x=$\frac{2±\sqrt{22}}{2}$，
∴这样的点P有4个，它们分别是（$\frac{2+\sqrt{10}}{2}$，$\frac{3}{2}$），（$\frac{2-\sqrt{10}}{2}$，$\frac{3}{2}$），（$\frac{2+\sqrt{22}}{2}$，-$\frac{3}{2}$），（$\frac{2-\sqrt{22}}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、抛物线与x轴的交点、三角形的面积，解题的关键是先求出函数解析式．