Question

7．如图，在我国领海某海域，南北方向的直线MN上有相距100（$\sqrt{3}$+1）海里的A、B两艘巡逻舰，同时发现C处有一艘不明国籍的战舰在从事侦查、收集情报活动，立即前往进行驱离，出发时，B舰测得敌舰所处位置C位于东南方向上，A舰测得敌舰所处位置C位于北偏东60°方向上，此时敌舰所处位置C正好位于灯塔D南偏东75°的方向上．
（1）分别求出A与C，B与C之间的距离AC和BC（若结果有根号，请保留）；
（2）已知灯塔D方圆100海里范围内有暗礁，若A舰沿直线AC到达敌舰所处位置C处进行驱离，在行进途中是否需要改变航向？（参考数据：$\sqrt{2}$≈1.41，$\sqrt{3}$≈1.73）

Answer 1

分析 （1）作CE⊥AB于点E，则∠CEB=∠CEA=90°，设AE=x．解Rt△AEC，得出CE=AE•tan60°=$\sqrt{3}$x，AC=$\frac{AE}{cos60°}$=2x．解Rt△BCE，得出BE=CE=$\sqrt{3}$x，BC=$\frac{BE}{cos45°}$=$\sqrt{6}$x．再根据AE+BE=AB，得出方程x+$\sqrt{3}$x=100（$\sqrt{3}$+1），求出x=100，进而求出AC和BC；
（2）过点D作DF⊥AC于点F，则∠AFD=∠CFD=90°，在△ACD中，根据三角形内角和定理求出∠ACD=180°-60°-75°=45°．设AF=y，则DF=CF=$\sqrt{3}$y，由
AC=y+$\sqrt{3}$y=200，求出y=100（$\sqrt{3}$-1），再计算出DF的长，然后与100比较即可．

解答 解：（1）作CE⊥AB于点E，则∠CEB=∠CEA=90°，设AE=x．
∵在Rt△AEC中，∠CAE=60°，
∴CE=AE•tan60°=$\sqrt{3}$x，AC=$\frac{AE}{cos60°}$=2x．
∵在Rt△BCE中，∠CBE=45°，
∴BE=CE=$\sqrt{3}$x，BC=$\frac{BE}{cos45°}$=$\sqrt{6}$x．
∵AE+BE=AB，
∴x+$\sqrt{3}$x=100（$\sqrt{3}$+1），
解得x=100，
∴AC=2x=200，
BC=$\sqrt{6}$x=100$\sqrt{6}$；

（2）过点D作DF⊥AC于点F，则∠AFD=∠CFD=90°，
在△ACD中，∵∠DAC=60°，∠ADC=75°，
∴∠ACD=180°-60°-75°=45°．
设AF=y，则DF=CF=$\sqrt{3}$y，
∴AC=y+$\sqrt{3}$y=200，
解得y=100（$\sqrt{3}$-1），
∴DF=$\sqrt{3}$y=$\sqrt{3}$×100（$\sqrt{3}$-1）=100（3-$\sqrt{3}$）≈100（3-1.73）=127＞100，
∴A舰沿直线AC到达敌舰所处位置C处进行驱离，在行进途中不需要改变航向．

点评 本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数定义，三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．