Question

16．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=-x+3与x轴、y轴相交于B、C两点，抛物线y=ax²+bx+3经过点B，对称轴为直线x=1．

（1）求a和b的值；
（2）点P是直线BC上方抛物线上任意一点，设点P的横坐标为t，△PBC的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）P为抛物线上的一点，连接AC，当∠BCP=∠ACO时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由直线解析式可求得B、C两点坐标，结合对称轴，可求得a、b；
（2）过点P作PE∥y轴交BC于点D，交x轴于点E，作CF⊥PD于点F，可用t表示出PD的长，则可示得S与t的关系式；
（3）当点P在x轴下方时，过点A作AH⊥CP₁，利用面积相等可求得AK、CK的比，再利用勾股定理可求得K点的坐标，则可求得直线CK解析式，结合P₁在抛物线上可求得其坐标；当点P在x轴上方时，过点B作BM∥y轴，交CP₂延长线于点M，可证明△CBK≌△CBM，则可求得M点坐标，可求得直线CM解析式，同理可求得P₂点的坐标，则可求得P点坐标．

解答 解：
（1）∵直线y=-x+3与x轴、y轴相交于B、C两点，
∴B（3，0），C（0，3），
∴9a+3b+3=0，
∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴$-\frac{b}{2a}=1$，
∴a=-1，b=2；
（2）如图1，过点P作PE∥y轴交BC于点D，交x轴于点E，作CF⊥PD于点F，

∵P（t，-t²+2t+3），
∴D（t，-t+3），
∵点P是直线BC上方，
∴PD=-t²+2t+3-（-t+3）=-t²+3t，
∴S_△PBC=S_△PCD+S_△PBD=$\frac{1}{2}$PD•CF+$\frac{1}{2}$PD•BE=$\frac{1}{2}$PD•OB=$\frac{1}{2}$×3（-t²+3t）=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{9}{2}$t（0＜t＜3）；
（3）①如图2，当∠BCP₁=∠ACO时，过点A作AH⊥CP₁，

∵OA=1，OC=3，
∴AC=$\sqrt{10}$，
∵∠BCP₁=∠ACO，
∴∠ACH=45°，
∴AH=$\sqrt{5}$，
∵S_△ACK=$\frac{1}{2}$AK•OC=$\frac{1}{2}$CK•AH，
∴$\frac{AK}{CK}$=$\frac{AH}{OC}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
设AK=$\sqrt{5}m$，CK=3m，OK=$\sqrt{5}$m-1，
在Rt△COK中，OC²+OK²=CK²
∴${3^2}+{（\sqrt{5}m-1）^2}={（3m）^2}$3²+（$\sqrt{5}$m-1）²=（3m）²，解得m=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴K（$\frac{3}{2}$，0），
∴直线CK解析式为y=-2x+3，
∴P₁（n，-2n+3）
∵P₁在抛物线y=-x²+2x+3上，
∴P₁（4，-5）；
②如图2，∠BCP₂=∠ACO时，过点B作BM∥y轴，交CP₂延长线于点M，
在△CBK和△CBM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BC{P}_{2}=∠BC{P}_{1}}\\{BC=BC}\\{∠CBO=∠CBM}\end{array}\right.$
∴△CBK≌△CBM（ASA），
∴BK=BM=$\frac{3}{2}$，
∴M（3，$\frac{3}{2}$），
∴直线CM的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3，
∴P₂（m，-$\frac{1}{2}$m+3）
∵P₂在抛物线上，
∴P₂（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$），
∴P点坐标为（4，-5）或（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理、全等三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识点．在（1）中利用对称轴和B点坐标得到关于a、b的方程是解题的关键，在（2）中用t表示出PD的长是解题的关键，在（3）中分别求得直线CK、CM的解析式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．