Question

3．如图，抛物线y=-x²+5x+n与x轴交点A（1，0），另一交点C，与y轴交于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABC的面积，
（3）P是y轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求P点坐标．（直接写出答案）．

Answer 1

分析 （1）直接把点A的坐标代入抛物线方程即可；
（2）分别令x，y为0，求出点B，C的坐标，根据图象即可算出△CAB的面积；
（3）本题要分两种情况进行讨论：①PA=AB，先根据抛物线的解析式求出B点的坐标，即可得出OB的长，进而可求出AB的长，也就知道了PB的长，由此可求出P点的坐标．

解答 解：（1）根据题意，把点A的坐标代入抛物线方程得：
0=-1+5+n，即得n=-4；
所以抛物线解析式为y=-x²+5x-4；
（2）根据题意得：
令y=0，即-x²+5x-4=0，解得x₁=1，x₂=4，
∴点C坐标为（4，0）；
令x=0，解得y=-4，
∴点B的坐标为（0，-4）；
∴由图象可得，△CAB的面积S=$\frac{1}{2}$×OB×AC=$\frac{1}{2}$×4×3=6；
（3）根据题意得：
①当点O为PB的中点，设点P的坐标为（0，y），（y＞0）
则y-4=0，即得y=4，
∴点P的坐标为（0，4）．
②当AB=BP时，AB=$\sqrt{17}$，
∴OP的长为：$\sqrt{17}$-4，
∴P（0，$\sqrt{17}$-4），
∴P（0，$\sqrt{17}$-4），或（0，4）．

点评 此题考查二次函数的综合运用，掌握二次函数的性质，待定系数法求函数解析式以及等腰三角形的性质是解决问题的关键．