Question

在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0），B（2，0），若在坐标轴上存在点C，使得AC+BC=m，则称点C为点A，B的“m和点”．如C坐标为（0，0）时，AC+BC=4，则称C（0，0）为点A，B的“4和点”．
（1）若点C为点A，B的“m和点”，且△ABC为等边三角形，求m的值；
（2）A，B的“5和点”有几个，请分别求出坐标；
（3）直接指出点A，B的“m和点”的个数情况和相应的m取值条件．

Answer 1

考点：勾股定理,坐标与图形性质

专题：新定义,分类讨论

分析：（1）先由A、B两点的坐标求出AB=4，再根据等边三角形的定义得到AC=BC=AB=4，然后根据“m和点”的定义即可求出m=8；
（2）设点C为点A，B的“5和点”．根据“m和点”的定义可知点C在坐标轴上，再分两种情况进行讨论：①如果点C在x轴上，设C点坐标为（x，0），根据AC+BC=5列出方程|x+2|+|x-2|=5，解方程求出x的值，即可得到C点坐标；②如果点C在y轴上，设C点坐标为（0，y），根据AC+BC=5列出方程

22+y2

+

22+y2

=5，解方程求出y的值，即可得到C点坐标；
（3）由AB=4，可知点A，B的“m和点”的个数情况分三种情况进行讨论：①当m＜4时，根据两点之间线段最短可知A，B的“m和点”没有；②当m=4时，x轴上-2与2之间的任意一个数所对应的点都是A，B的“m和点”，所以有无数个；③当m＞4时，A，B的“m和点”x轴上有2个，y轴上也有2个，一共有4个．

解答：解：（1）∵A（-2，0），B（2，0），
∴AB=2-（-2）=4．
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC=AB=4，
∴AC+BC=4+4=8，即m=8；

（2）设点C为点A，B的“5和点”．分两种情况：
①如果点C在x轴上，设C点坐标为（x，0）．
∵AC+BC=5，
∴|x+2|+|x-2|=5，
当x≤-2时，-（x+2）-（x-2）=5，解得x=-2.5，所以C点坐标为（-2.5，0）；
当-2＜x≤2时，（x+2）-（x-2）=5，x无解；
当x＞2时，（x+2）+（x-2）=5，解得x=2.5，所以C点坐标为（2.5，0）；
②如果点C在y轴上，设C点坐标为（0，y）．
∵AC+BC=5，
∴

22+y2

+

22+y2

=5，
∴

22+y2

=2.5，
两边平方，得4+y²=6.25，
解得y=±1.5．
经经验，y=±1.5都是原方程的根，
所以C点坐标为（0，1.5），（0，-1.5）；
综上所述，A，B的“5和点”有4个，坐标为（-2.5，0），（2.5，0），（0，1.5），（0，-1.5）；

（3）∵AB=4，
∴点A，B的“m和点”的个数情况分三种情况：
①当m＜4时，A，B的“m和点”没有；
②当m=4时，A，B的“m和点”有无数个；
③当m＞4时，A，B的“m和点”有4个．

点评：本题考查了勾股定理，两点间的距离公式，等边三角形的定义，同时考查学生的阅读理解能力和知识的迁移能力．正确理解A，B的“m和点”的定义是解题的前提，运用方程思想、分类讨论是解题的关键．