Question

9．规律探究
有若干个数，第1个数记为a₁，第2个数记为a₂，第3个数记为a₃，…，第n个数记为a_n．若a₁=$-\frac{1}{2}$，从第2个数起，每个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数．
（1）求a₄、a₅的值；
（2）试求a₂₀₀₈的值并说明理由；
（3）试探究a_n的值并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意依次计算出a₄、a₅的值；
（2）发现三个数一循环，所以令2008÷3看余数是几，就是第几个数；
（3）分三种情况进行讨论：当n÷3余数为1、2、3时，分别得出结果．

解答 解：（1）根据题意得：a₂=$\frac{1}{1-{a}_{1}}$=$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{2}{3}$，a₃=$\frac{1}{1-{a}_{2}}$=$\frac{1}{1-\frac{2}{3}}$=3，a₄=$\frac{1}{1-{a}_{3}}$=$\frac{1}{1-3}$=-$\frac{1}{2}$，a₅=$\frac{1}{1-{a}_{4}}$=$\frac{1}{1-（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{2}{3}$，
（2）由（1）得：a₁=-$\frac{1}{2}$，a₂=$\frac{2}{3}$，a₃=3，a₄=-$\frac{1}{2}$，
发现：三个数一循环，
所以，2008÷3=669…余1，
则a₂₀₀₈=-$\frac{1}{2}$
（3）分三种情况：①当n÷3余1时，a_n=-$\frac{1}{2}$，
②当n÷3余2时，a_n=$\frac{2}{3}$，
③当n÷3整除时，a_n=3．

点评 本题是数字类变化规律题，此类题形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考并发现规律．思路为：认真观察、仔细思考，依次按要求进行计算，善用联想是解决这类问题的方法．有时也会利用方程解决问题．