Question

4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB=2$\sqrt{5}$，AC=2，求四边形AODE的周长．

Answer 1

分析 （1）根据题意可判断出四边形AODE是平行四边形，再由菱形的性质可得出AC⊥BD，即∠AOD=90°，继而可判断出四边形AODE是矩形；
（2）由菱形的性质和勾股定理求出OB，得出OD，由矩形的性质即可得出答案．

解答 （1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOD=90°，
∴四边形AODE是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=1，OD=OB，
∵∠AOB=90°，
∴OB=$\sqrt{A{B}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{19}$，
∴OD=$\sqrt{19}$，
∵四边形AODE是矩形，
∴DE=OA=1，AE=OD=$\sqrt{19}$，
∴四边形AODE的周长=2+2$\sqrt{19}$．

点评 本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定；熟练掌握矩形的判定与性质和菱形的性质是解决问题的关键．