Question

某批发商6月1日以70元/千克的成本价购入了某海产品1 000千克，据市场预测，该产品的销售价y（元/千克）与时间x（天）之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示．
（注：x=0表示6月1日）
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若平均每天海产品将损耗15千克，此外，批发商每天保存海产品的费用为300元，且该批发商有能力随时将这批海产品一次性卖出．问：何时出售，批发商所获利润w最大？最大利润是多少？

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）由函数的图象可知当0≤x≤20时y和x是一次函数的关系；当20≤x≤40时y是x的常数函数，由此可得出y与x之间的函数关系式；
（2）设到第x天出售，批发商所获利润为w，根据等量关系“利润=销售总金额-收购成本-各种费用=该产品的销售价y（元/千克）×（原购入量-x×存放天数）-收购成本-各种费用”列出函数关系式，再求出函数的最值即可．

解答：解：（1）当0≤x≤20，把（0，100）和（20，160）代入y=kx+b得

100=b 160=20k+b

，
解得：

k=3 b=100

，
∴y=3x+100，
当20≤x≤40时，y=160，
故y与x之间的函数关系式是y=

3x+100 (0≤x≤20) 160 (20≤x≤40)

，

（2）设到第x天出售，批发商所获利润为w，由题意得：
①当0≤x≤20；w=（y-70）（1000-15x）-300x，
由（1）得y=3x+100，
∴w=（3x+100-70）（1000-15x）-300x，
=-45x²+2250x+30000=-45（x-25）²+58125，
∵a=-45＜0，
∴函数有最大值，当x=25时，利润最大为58125元，
∵x=0表示6月1日，
∴当6月25号一次性出售时，批发商所获利润w最大，最大利润是58125元．
②当20≤x≤40时，w=（y-70）（1000-15x）-300x，
由（1）得y=160，
∴w=（3x+100-70）（1000-15x）-300=-1650x+90000．
∵-1650＜0，
∴函数有最大值，当x=20时，利润最大为57000元，
∵58125元＞57000元．
∴当6月25号一次性出售时，批发商所获利润w最大，最大利润是58125元．

点评：本题考查了二次函数和一次函数的实际应用，本题把实际问题转化为一次函数，二次函数，求二次函数最大值，充分体现了函数在实际中的运用功能，提高学生学习的兴趣．