Question

4．如图，AB是⊙O的直径，E是AB上一点，且AE=3，BE=7，sin∠CEB=$\frac{1}{2}$，求弦CD的长．

Answer 1

分析 作OM⊥CD于点M，连接OC，先由AE=3，BE=7，求出该圆的直径与半径，进而求出OE的值，然后在直角三角形OEM中，根据三角函数求得OM的长，然后在直角△OCM中，利用勾股定理即可求得CM的长，进而根据垂径定理求得CD的长．

解答 解：作OM⊥CD于点M，连接OC，则CM=$\frac{1}{2}$CD，
∵AE=3，BE=7，
∴AB=10，
∴OA=OC=5，
∴OE=OA-AE=2，
∵sin∠CEB=$\frac{1}{2}$，
在Rt△MOE中，
即sin∠EMO=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OM}{OE}=\frac{1}{2}$，
∴OM=1，
在Rt△OCM中，
由勾股定理得：CM=$\sqrt{O{C}^{2}-O{M}^{2}}$=$\sqrt{24}$=2$\sqrt{6}$，
∴CD=2CM=4$\sqrt{6}$．

点评 本题考查的是垂径定理、勾股定理及直角三角形的性质，解答此类题目时要先作出辅助线，再利用勾股定理求解．