Question

已知：如图，在直角坐标系中，⊙C与y轴相切于点O，且C点的坐标为（1，0），直线l过点A（-1，0）与⊙C切于D点．D点坐标为

 

，在直线l上存在点P，使△APC为等腰三角形，则P点的坐标

 

．

Answer 1

分析：（1）首先根据题中已给条件求出⊙C的方程表达式．然后设出直线1的方程表达式，根据直线l过点A（-1，0）与⊙C切于D点可以求出直线1的方程表达式，即可求出D点坐标．
（2）分别以A、P、C坐三角形顶点，求出不同情况下P点坐标．

解答：解：如图所示：
①已知：⊙C与y轴相切于点O，且C点的坐标为（1，0），所以可以求出⊙C的表达式为：（x-1）²+y²=1．
设直线1的表达式为：y=kx+b．
因为CD=1，AC=2，∠CDA=90°，所以∠DAC=30°，所以k=

3

3

，
将点A坐标代入得：

3

3

=b．
所以直线1的方程式为：y=

3

3

x+

3

3

．
将直线1的方程式代入⊙C中可得

x= 1 2 y= 3 2

，
所以点D坐标为(

1

2

，

3

2

)．
②以点P为顶点，PA=PC，可知P在y轴上，又因为P在直线1上，所以点P坐标为(0，

3

3

)，
以点A为顶点，AP=AC，所以AP=2，又因为∠PAC=30°，所以P到x轴距离为1，所以P点坐标为（

3

-1，1），（-1-

3

，-1）；
以点C为顶点，CA=CP，所以CP=2，同理可得P点坐标为（2，

3

）．
所以P点坐标为：（0，

3

3

），（

3

-1，1），（-1-

3

，-1），（2，

3

）．

点评：本题重要考查对于一次方程的应用，此外还用到直线与圆的知识，考查范围较广，第二问中的坐标要分别以3个点为顶点来求P点坐标，以避免遗漏．