Question

如图，二次函数y=ax²+bx（a≠0）的图象经过点A（1，4），对称轴是直线x=-

3

2

，线段AD平行于x轴，交抛物线于点D．在y轴上取一点C（0，2），直线AC交抛物线于点B，连结OA，OB，OD，BD．

（1）求该二次函数的解析式；
（2）求点B坐标和坐标平面内使△EOD∽△AOB的点E的坐标；
（3）设点F是BD的中点，点P是线段DO上的动点，问PD为何值时，将△BPF沿边PF翻折，使△BPF与△DPF重叠部分的面积是△BDP的面积的

1

4

？

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）运用待定系数法和对称轴的关系式求出a、b的即可；
（2）由待定系数法求出直线AC的解析式，由抛物线的解析式构成方程组就可以求出B点的坐标，由相似三角形的性质及旋转的性质就可以得出E的坐标；
（3）分情况讨论当点B落在FD的左下方，点B，D重合，点B落在OD的右上方，由三角形的面积公式和菱形的性质的运用就可以求出结论．

解答：解：（1）∵y=ax²+bx（a≠0）的图象经过点A（1，4），且对称轴是直线x=-

3

2

，
∴

a+b=4 - b 2a =- 3 2

，
解得：

a=1 b=3

，
∴二次函数的解析式为y=x²+3x；

（2）如图1，
∵点A（1，4），线段AD平行于x轴，
∴D的纵坐标为4，
∴4=x²+3x，
∴x₁=-4，x₂=1，
∴D（-4，4）．
设直线AC的解析式为y=kx+b，由题意，得

4=k+b 2=b

，
解得：

k=2 b=2

，
∴y=2x+2；
当2x+2=x²+3x时，
解得：x₁=-2，x₂=1（舍去）．
∴y=-2．
∴B（-2，-2）．
∴DO=4

2

，BO=2

2

，BD=2

10

，OA=

17

．
∴DO²=32，BO²=8，BD²=40，
∴DO²+BO²=BD²，
∴△BDO为直角三角形．
∵△EOD∽△AOB，
∴∠EOD=∠AOB，

OD

OB

=

OE

OA

=

4 2

2 2

=2，
∴∠AOB-∠AOD=∠EOD-∠AOD，
∴∠BOD=∠AOE=90°．
即把△AOB绕着O点顺时针旋转90°，OB落在OD上B′，OA落在OE上A₁
∴A₁（4，-1），
∴E（8，-2）．
作△AOB关于x轴的对称图形，所得点E的坐标为（2，-8）．
∴当点E的坐标是（8，-2）或（2，-8）时，△EOD∽△AOB；

（3）由（2）知DO=4

2

，BO=2

2

，BD=2

10

，∠BOD=90°．
若翻折后，点B落在FD的左下方，如图2．
S_△HFP=

1

4

S_△BDP=

1

2

S_△DPF=

1

2

S_△B′PF=S_△DHP=S_△B′HF，
∴DH=HF，B′H=PH，
∴在平行四边形B′FPD中，PD=B′F=BF=

1

2

BD=

10

；
若翻折后，点B，D重合，S_△HFP=

1

2

S_△BDP，不合题意，舍去．
若翻折后，点B落在OD的右上方，如图3，
S_△HFP=

1

4

S_△BDP=

1

2

S_△BPF=

1

2

S_△DPF=

1

2

S_△B′PF=S_△DHF=S_△B′HP
∴B′P=BP，B′F=BF，DH=HP，B′H=HF，
∴四边形DFPB′是平行四边形，
∴B′P=DF=BF，
∴B′P=BP=B′F=BF，
∴四边形B′FBP是菱形，
∴FD=B′P=BP=

1

2

BD=

10

，根据勾股定理，得
OP²+OB²=BP²，
∴（4

2

-PD）²+（2

2

）²=（

10

）²，
解得PD=3

2

，PD=5

2

＞4

2

（舍去），
综上所述，PD=

10

或PD=3

2

时，将△BPF沿边PF翻折，使△BPF与△DPF重叠部分的面积是△BDP的面积的

1

4

．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用，相似三角形的性质的运用，菱形的判定及性质的运用，旋转的性质的运用，分类讨论思想的运用．等底、等高的三角形的面积的运用，解答时运用三角形的面积关系求解是关键．