Question

已知在△ABC中，AB=AC，CH为AB上的高，CH=

3

5

AB，BC=

10

，求tanB的值和CH的长．

Answer 1

考点：勾股定理,锐角三角函数的定义

专题：

分析：如图1，在Rt△ACH中，由勾股定理就可以用AB表示出AH，进而得出BH，就可以求出tan∠B的值，在Rt△BCH中，由勾股定理就可以求出AB的值，进而得出CH的值．如图2，在Rt△AHC中，由勾股定理就可以用AB表示出AH，进而得出BH，就可以求出tan∠B的值，在Rt△BCH中，由勾股定理就可以求出AB的值，进而得出CH的值．

解答：解：如图1，∵CH⊥AB，
∴∠BHC=90°．
∴AH²=AC²-CH²．
∵AB=AC，CH=

3

5

AB，
∴AH²=AB²-（

3

5

AB）²．
∴AH=

4

5

AB．
∴BH=

9

5

AB．
∴tan∠B=

3 5 AB

9 5 AB

=

1

3

．
在Rt△BCH中，由勾股定理，得
（

9

5

AB）²+（

3

5

AB）²=（

10

）²，
解得：AB=

5

3

，
∴CH=

3

5

AB=

3

5

×

5

3

=1．
如图2，∵CH⊥AB，
∴∠BHC=∠AHC=90°．
∴AH²=AC²-CH²．
∵AB=AC，CH=

3

5

AB，
∴AH²=AB²-（

3

5

AB）²．
∴AH=

4

5

AB．
∴BH=

1

5

AB．
∴tan∠B=

3 5 AB

1 5 AB

=3
在Rt△BCH中，由勾股定理，得
（

1

5

AB）²+（

3

5

AB）²=（

10

）²，
解得：AB=5，
∴CH=

3

5

AB=

3

5

×5=3．
答：tan∠B=

1

3

或3，CH=1或3．

点评：本题考查了等腰三角形的性质的运用，勾股定理的运用，锐角三角函数的运用，解答时运用勾股定理求解是关键．