Question

11．在四边形ABCD中，AD⊥DC，∠DAC=∠DCA=∠DBC
（1）求证：AE•EC=BE•ED；
（2）若AC=8，AE=2，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）根据∠DAC=∠DBC，∠AED=∠BEC可得出△AED∽△BEC，由此可得出结论；
（2）过点D作DF⊥AC于点F，先根据AD⊥DC，∠DAC=∠DCA可知△ACD是等腰直角三角形，故可得出AF及DF的长，进而得出EF的长，根据勾股定理求出DE的长，由（1）中的比例式即可得出BE的长．

解答 （1）证明：∵∠DAC=∠DBC，∠AED=∠BEC，
∴△AED∽△BEC，
∴$\frac{AE}{BE}$=$\frac{ED}{EC}$，即AE•EC=BE•ED；

（2）过点D作DF⊥AC于点F，
∵AD⊥DC，∠DAC=∠DCA，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∵AC=8，
∴AF=DF=$\frac{1}{2}$AC=4．
∵AE=2，
∴EF=AF-AE=4-2=2，CE=AC-AE=8-2=6，
∴DE=$\sqrt{{DF}^{2}+{EF}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∵由（1）知，$\frac{AE}{BE}$=$\frac{ED}{EC}$，
∴$\frac{2}{BE}$=$\frac{2\sqrt{5}}{6}$，解得BE=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知有两个角相等的三角形相似是解答此题的关键．