Question

10．操作与实践：已知长方形纸片ABCD中，AD=3，AB=4．
操作一：如图①，任意画一条线段EF，将纸片沿EF折叠，使点B落到点B′的位置，EB′与CD交于点G．试说明重叠部分△EFG为等腰三角形；
操作二：如图②，将纸片沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点H．求△B′HC的周长．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质可知DC∥AB，根据平行线的性质可知∠GFE=∠FEB，由翻折的性质可知∠GEF=∠BEF，从而得到∠FEB=∠BEF从而得到三角形EFG为等腰三角形；
（2）先证明△ADH≌△CB′H，从而得到DH=DB′，然后将△B′HC的周长转化为三角形B′C与DC的和即可．

解答 解：（1）由折叠的性质可知∠GEF=∠BEF．
∵DC∥AB，
∴∠GFE=∠FEB．
∴∠FEB=∠BEF．
∴EG=FG．
∴△EFG为等腰三角形．
（2）∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC．
由翻折的性质可知：BC=CB′，∠B′=∠B=90°．
∴AD=CB′，∠D=∠B′．
在△ADH和△CB′H中，$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠B′}\\{∠DHA=∠B′HC}\\{AD=B′C}\end{array}\right.$，
∴△ADH≌△CB′H．
∴B′H=DH．
∴△B′HC的周长=B′C+B′H+HC=BC+DH+HC=7．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的性质和判定，证得B′H=DH是解题的关键．