Question

18．小伟和小东是两个听话的好孩子，他们这学期的数学测试成绩见表一（单位：分）．已知小伟平时成绩的平均分是98分，小东平时成绩的众数是93分．请结合图表完成下列问题：
（1）求表中的a和b；
（2）小伟和小东平时成绩谁更稳定？为什么？
（3）老师计划按表二的三张方案来折合计算两位同学本学期的数学总评成绩．请你选择一种方案帮老师计算两位同学本学期的数学总评成绩各是多少分？（注：算“平时成绩的权重”按“平时成绩的平均分的权重”来计算）
表一：

测试类别	平时成绩					期中成绩	期末成绩
	测试1	测试2	测试3	测试4	测试5
小伟	a	99	100	99	98	96	95
小东	90	93	94	b	95	92	98

表二：

测试类别	平时成绩的权重	期中成绩的权重	期末成绩的权重
方案一	10%	30%	60%
方案二	20%	20%	60%
方案三	20%	30%	50%

Answer 1

分析 （1）根据平均数与众数的定义可求出表中a和b的值；
（2）先分别求出小伟和小东平时成绩的方差，再根据方差的意义，方差越小数据越稳定即可求解；
（3）根据加权平均数的计算公式即可求解．

解答 解：（1）∵小伟平时成绩的平均分是98分，
∴a+99+100+99+98=98×5，
∴a=94，
∵小东平时成绩的众数是93分，
∴93分出现的次数最多，
∴b=93；

（2）小东平时成绩的平均分=（90+93+94+93+95）÷5=93，
∴${S}_{小伟}^{2}$=$\frac{1}{5}$[（94-98）²+2×（99-98）²+（100-98）²+（98-98）²]=4.4，
${S}_{小东}^{2}$=$\frac{1}{5}$[（90-93）²+2×（93-93）²+（94-93）²+（95-93）²]=2.8，
∵${S}_{小伟}^{2}$＞${S}_{小东}^{2}$，
∴小东平时成绩更稳定；

（3）任选一个计算．
方案一：小伟数学总评成绩=98×0.1+96×0.3+95×0.6=95.6（分），
小东数学总评成绩=93×0.1+92×0.3+98×0.6=95.7（分）；
方案二：小伟数学总评成绩=98×0.2+96×0.2+95×0.6=95.8（分），
小东数学总评成绩=93×0.2+92×0.2+98×0.6=95.8（分）；
方案三：小伟数学总评成绩=98×0.2+96×0.3+95×0.5=95.9（分），
小东数学总评成绩=93×0.2+92×0.3+98×0.5=95.2（分）．

点评 本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x₁，x₂，…x_n的平均数为$\overline{x}$，则方差S²=$\frac{1}{n}$[（x₁-$\overline{x}$）²+（x₂-$\overline{x}$）²+…+（x_n-$\overline{x}$）²]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．也考查了平均数．