Question

（2012•道外区二模）已知：如图1，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，连接AC，tan∠CAD=

1

2

，过点D作DE⊥AB，点E为垂足．
（1）求证：

1

2

AE+BC=DE；
（2）连接BD，设BD与AC交于点F，DE与AC交于点G，若AG：FG=3：2，AE=6（如图2），求线段BC的长．

Answer 1

分析：（1）过点D作DH⊥BC交BC的延长线于H，由∠DEB=∠EBH=∠DHB=90°可知四边形DEBH为矩形，故可得出∠CDH=∠ADE，再由相似三角形的判定定理得出△DCH∽△DAE，由相似三角形的对应边成比例即可求出CH=

1

2

AE，故可得出结论；
（2）过点F作FM⊥DE交DE于M，由题意可得

FM

AE

=

FG

AG

=

2

3

，故可得出AE及FM的长，由相似三角形的判定定理得出△DCH∽△DAE，由相似三角形的对应边成比例即可求出CH=

1

2

AE，根据四边形DEBH为矩形得BE=DH；tan∠BDE=

1

2

，在Rt△DFM′中可得出DM=8，FD=4

5

，设AG=3a（a＞0），AG：FG=3：2，FG=2a，故可得出△DFG∽△AFD，由相似三角形的对应边成比例可求出FD²的值，在Rt△AGE中，∠AEG=90°，AG=6

2

，AE=6，在Rt△FMG中，∠FMG=90°，FG=4

2

，FM=4，GE=6，DE=GE+GM+DM=6+4+8=18，

AE

2

+BC=DE，BC=DE-

AE

2

=18-3=15．

解答：解：（1）如图1，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于H，
∵∠DEB=∠EBH=∠DHB=90°，
∴四边形DEBH为矩形，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDH+∠EDC=∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠CDH=∠ADE，
又∵∠DHC=∠AED=90°，
∴△DCH∽△DAE，
∴

CH

AE

=

DC

AD

=

1

2

，
∴CH=

1

2

AE，
∵DE=BH而BH=BC+CH=BC+

1

2

AE，
∴

AE

2

+BC=DE．

（2）如图2，过点F作FM⊥DE交DE于M，
∴∠FMG=90°，
又∵∠AED=90°，
∴∠FMG=∠AED，而∠FGM=∠AGE，
∴

FM

AE

=

FG

AG

=

2

3

，
∵AE=6，
∴FM=4，
由（1）知，△DCH∽△DAE，
∴

DH

DE

=

DC

AD

=

1

2

，而由四边形DEBH为矩形得BE=DH，
∴

BE

DE

=

1

2

，
∴tan∠BDE=

1

2

，
在Rt△DFM′中，∠FMD=90°，tan∠FMD=

1

2

，FM=4，
∴DM=8，FD=4

5

，
设AG=3a（a＞0），
∵AG：FG=3：2，
∴FG=2a，
∵∠DFG=∠AFD，∠BDE=∠DAC，
∴△DFG∽△AFD，
∴

DF

AF

=

FG

FD

，
∴FD²=FA•FG，
∴（4

5

）²=（3a+2a）•2a，
∴a=2

2

，
∴FG=4

2

，AG=6

2

，
在Rt△AGE中，∠AEG=90°，AG=6

2

，AE=6，
∴GM=4，
在Rt△FMG中，∠FMG=90°，FG=4

2

，FM=4，
∴GE=6，
∴DE=GE+GM+DM=6+4+8=18，
∵

AE

2

+BC=DE，
∴BC=DE-

AE

2

=18-3=15．

点评：本题考查了相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、解直角三角形的知识，难度较大．