Question

10．如图，以△ABC的一边BC为直径的⊙O，交AB于点D，连接CD，OD，已知∠A+$\frac{1}{2}$∠1=90°．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若∠B=30°，AD=4，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可得到∠1=2∠B，则利用∠A+$\frac{1}{2}$∠1=90°和三角形内角和得到∠ACB=90°，然后根据切线的性质可判断AC是⊙O的切线；
（2）在Rt△ABC中利用互余得到∠A=60°，再根据圆周角定理得到∠BDC=90°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△ACD中可计算出AC=2AD=8，在Rt△ABC中可计算出BC=$\sqrt{3}$AC=8$\sqrt{3}$，从而得到⊙O的半径．

解答 （1）证明：∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠1=∠B+∠ODB=2∠B，
∵∠A+$\frac{1}{2}$∠1=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）在Rt△ABC中，∵∠B=30°，
∴∠A=60°，
∵BC为直径，
∴∠BDC=90°，
在Rt△ACD中，AC=2AD=8，
在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{3}$AC=8$\sqrt{3}$，
∴⊙O的半径为4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．记住含30度的直角三角形三边的关系．