Question

在平面直角坐标系xOy中．以原点O为圆心的圆过点A（7，0），直线y=kx-4k+3与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为

 

．

Answer 1

考点：垂径定理,一次函数图象上点的坐标特征,勾股定理

专题：

分析：根据直线y=kx-4k+3必过点D（4，3），求出最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（7，0），求出OB的长，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案．

解答：解：∵直线y=kx-4k+3必过点D（4，3），
∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，
∵点D的坐标是（4，3），
∴OD=5，
∵以原点O为圆心的圆过点A（7，0），
∴圆的半径为7，
∴OB=7，
∴由勾股定理得：BD=

72-52

=2

6

，
∴BC的长的最小值为4

6

．
故答案为：4

6

．

点评：此题考查了一次函数的综合，垂径定理、勾股定理、圆的有关性质的应用，关键是求出BC最短时的位置，题目比较好，难度适中．