Question

设抛物线y=的图象与x轴只有一个交点．
（1）求a的值；
（2）求a¹⁸+323a^-6的值．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=的图象与x轴只有一个交点，
∴△==0，
解得：a=．

（2）∵a=，
∴a是方程x²-x-1=0的根，
∴a²-a-1=0，
∵a≠0，
∴=1，

=+2
=3，

=-2
=7，

=-2
=47，

=（）（-1）
=7×（47-1）
=322，
a¹⁸+323a^-6
=（）+
=a⁶（）+
=322a⁶+
=322（），

=（）（-1）
=3×（7-1）
=18．
∴322（）=322×18=5796．
分析：（1）利用函数与一元二次方程的结合点：抛物线与x轴只有一个交点等价于△=0；
（2）先利用了韦达定理，再利用了公式：a²+b²=（a+b）²-2ab，接下来用了立方和公式，提公因式，用来表示．这种各种公式共同应用的题比较常见．
点评：此题考查了抛物线与x轴的交点和一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），在计算中要灵活运用完全平方公式和立方和公式，计算较复杂，要注意计算能力的培养．