Question

14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AC，BC上，且∠CDE=∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处．若AC=8，AB=10，则CD的长为$\frac{25}{8}$．

Answer 1

分析 根据D，C，E，F四点共圆，可得∠CDE=∠CFE=∠B，再根据CE=FE，可得∠CFE=∠FCE，进而根据∠B=∠FCE，得出CF=BF，同理可得CF=AF，由此可得F是AB的中点，求得CF=$\frac{1}{2}$AB=5，再判定△CDF∽△CFA，得到CF²=CD×CA，进而得出CD的长．

解答 解：由折叠可得，∠DCE=∠DFE=90°，
∴D，C，E，F四点共圆，
∴∠CDE=∠CFE=∠B，
又∵CE=FE，
∴∠CFE=∠FCE，
∴∠B=∠FCE，
∴CF=BF，
同理可得，CF=AF，
∴AF=BF，即F是AB的中点，
∴Rt△ABC中，CF=$\frac{1}{2}$AB=5，
由D，C，E，F四点共圆，可得∠DFC=∠DEC，
由∠CDE=∠B，可得∠DEC=∠A，
∴∠DFC=∠A，
又∵∠DCF=∠FCA，
∴△CDF∽△CFA，
∴CF²=CD×CA，即5²=CD×8，
∴CD=$\frac{25}{8}$，
故答案为：$\frac{25}{8}$．

点评 本题主要考查了折叠问题，四点共圆以及相似三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是根据四点共圆以及等量代换得到F是AB的中点．