Question

11．证明命题”三角形的两条内角平分线所夹的锐角与第三个内角的一半互余”是真命题．

Answer 1

分析 有三角形的角平分线得出∠2=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠3=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠4=$\frac{1}{2}$∠ACB，由三角形的外角性质得出∠1=∠3+∠4，再由三角形内角和定理即可得出结论．

解答 已知：AD、BE、CF是△ABC的角平分线；如图所示：
求证：∠1+$\frac{1}{2}$∠BAC=90°．
证明：如图所示：
∵AD、BE、CF是△ABC的角平分线，
∴∠2=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠3=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠4=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵∠1=∠3+∠4，
∴∠1+∠2=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB+$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB+∠BAC），
又∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠1+$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×180°=90°；
即命题”三角形的两条内角平分线所夹的锐角与第三个内角的一半互余”是真命题．

点评 本题考查了三角形内角和定理、角平分线、命题与定理；熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．