Question

6．已知CA平分∠MCN，AB∥CN，点D是线段CA上任一点，且BD=BE，∠DBE=∠CBA，连AE，DE 
（1）求证：CD=AE；
（2）若BC=10，AC=16，求：
①BD的最小值，
②△BDE周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）要证CD=AE，可利用角平分线的性质，全等三角形性质，证明△CDB≌△AEB即可证得；
（2）①要求BD的最小值，要运用垂线段定理，等腰三角形的性质，勾股定理，从而求得BD的最小值；
②利用轴对称性质，求出△BDE周长的最小值．

解答 （1）证明：∵AC平分∠MCN，
∴∠ACB=∠ACN，
又∵AB∥CN，
∴∠CAN=∠CAB，
∴∠BCA=∠BAC，
∴CB=AB=10，
又∵∠CBA=∠DBE，
∴∠CBD=∠ABE，
在△CDB和△AEB中，
$\left\{{\begin{array}{l}{CB=AB}\\{∠CBD=∠ABE}\\{BD=BE}\end{array}}\right.$，
∴△CDB≌△AEB（SAS），
∴CD=AE；

（2）解：①由（1）知CB=AB=10，
当BD⊥AC时，BD最小，
∵BC=AB
∴CD=AD=$\frac{1}{2}$AC=8，
在Rt△BCD中，∠BDC=90°，
∴BD=$\sqrt{B{C^2}-C{D^2}}$=6，
∴BD最小为6；

②BD最小时，周长最小BD=BE=6，
∴$\frac{BD}{BE}=\frac{BC}{AB}=1$，
∵∠DBE=∠CBA，
∴$\frac{AC}{DE}=\frac{BC}{BD}$即$\frac{16}{DE}=\frac{10}{6}$，
∴DE=9.6，周长最小为2×6+9.6=21.6．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，垂线段定理．找出全等三角形的条件，运用等腰三角形的性质，轴对称性质是解决此题的关键．