Question

20．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3），双曲线y=-$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过的中点D，且与AB交于点E，连接DE
（1）求△BDE的面积
（2）若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求点F坐标．

Answer 1

分析 （1）先利用D点为BC的中点得到D（1，3），再利用待定系数法确定反比例函数解析式为y=$\frac{3}{x}$，接着利用E点的横坐标为2得到E（2，$\frac{3}{2}$），然后根据三角形面积公式求解；
（2）根据相似三角形的性质，利用相似比可求出CF，然后计算出OF的长，从而得到点F坐标．

解答 解：（1）∵D点为BC的中点，B（2，3），
∴D（1，3），
把D（1，3）代入y=$\frac{k}{x}$得k=1×3=3，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{3}{x}$，
∵AB⊥x，
∴E点的横坐标为2，
当x=2时，y=$\frac{3}{x}$=$\frac{3}{2}$，即E（2，$\frac{3}{2}$），
∴△BDE的面积=$\frac{1}{2}$×（2-1）×（3-$\frac{3}{2}$）=$\frac{3}{4}$；
（2）∵△FBC∽△DEB，
∴$\frac{CF}{BD}$=$\frac{BC}{BE}$，即$\frac{CF}{1}$=$\frac{2}{\frac{3}{2}}$，解得CF=$\frac{4}{3}$，
∴OF=OC-CF=2-$\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}$，
∴点F坐标为（0，$\frac{2}{3}$）．

点评 本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．也考查了反比例函数图象上的点的坐标特征．