Question

7．如图，在△ABC中，以BC的中点O为圆心，BC为直径作半圆，交边AB于点D，交边AC于点E，且BD=EC．
（1）求证：AD=AE；
（2）如果BD=4，BO=$2\sqrt{5}$，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，OE，根据SSS定理得出△BOD≌△COE，再由全等三角形的性质即可得出结论；
（2）连接BE，根据勾股定理求出BE的长，再AD=x，则AE=x，AB=BD+x=4+x，由勾股定理即可得出结论．

解答 解：（1）连接OD，OE，
∵$\left\{\begin{array}{l}{OD=OE}\\{OB=OC}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BOD≌△COE（SSS），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∴AD=AE；

（2）连接BE，
∵BO=2$\sqrt{5}$，BD=EC=2，BC是直径，
∴BC=4$\sqrt{5}$，∠BEC=90°，
∴BE=$\sqrt{B{C}^{2}-E{C}^{2}}$=$\sqrt{{（4\sqrt{5}）}^{2}-{4}^{2}}$=8．
设AD=x，则AE=x，AB=BD+x=4+x，
∵AB²=AE²+BE²，即（4+x）²=x²+8²，
解得x=6．
∴AD=6．

点评 本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．