Question

1．如图．在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，8），B（-6，0），AB=10，点B、C关于y轴对称．
（1）求C的坐标；
（2）点P为线段BC上一动点（不与点B、C重合）过点P作PE⊥AB于E，PG⊥AC于G．则点P在运动的过程中：①PE+PG的值不变，②PE-PG的值不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你选择正确的结论并证明；
（3）若点P运动到线段BC的延长线上，其余条件不变．上述两个结论中又是哪一个成立？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据（x，y）关于y轴的对称点是（-x，y）即可求解；
（2）易证△ABC是等腰三角形，连接AP，根据S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC，即可解答；
（3）同（2），根据S_△ABP-S_△ACP=S_△ABC，即可解答．

解答 解：（1）C的坐标是（6，0）；
（2）图1，连接AP．
S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•OA=$\frac{1}{2}$×12×8=48，
∵OB=OC，OA⊥BC，
∴AC=AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$×10PE+$\frac{1}{2}$×10PG=48，
则PE+PG=$\frac{48}{5}$，
故①正确；
（3）图2，同（2）可得：S_△ABC=48，
∵S_△ABP-S_△ACP=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$×10PE-$\frac{1}{2}$×10PG=48，
则PE-PG=$\frac{48}{5}$，
则②正确．

点评 本题考查了线段的中垂线以及等腰三角形的性质，正确利用三角形的面积之间的关系是关键．