Question

16．在△ABC中，AB=AC，CD为AB边上的高．
（1）如图1，求证：∠BAC=2∠BCD．
（2）如图2，∠ACD的平分线CE交AB于E，过E作EF⊥BC于F，EF与CD交于点G．若ED=m，BD=n，请用含有m、n的代数式表示△EGC的面积．

Answer 1

分析 （1）过A作AE⊥BC于E，交CD于F，利用三线合一的性质，通过证明∠BAE=∠BCD来证明∠BCD=∠BAE=$\frac{1}{2}$∠A；
（2）过点A作AP⊥BC于点P，求出∠BAP=∠PAC，求出∠BAP=∠PAC=∠BCD，∠ACE=∠ECD，推出2（∠BCD+∠ECD）=90°，求出∠BCE=∠FEC=45°，推出EF=FC，求出∠BEF=∠BAP=∠BCD，∠BFE=∠EFC=90°，根据ASA证出△BFE≌△GFC得到BE=CG=m+n，即可得到结论．

解答 （1）证明如图1，：过A作AE⊥BC于E，交CD于F，
∴∠BAE+∠B=90°
又AB=AC，∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC．
又∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°，
∴∠BAE=∠BCD．
∴∠BAC=2∠BCD；

（2）解：如图2，过点A作AP⊥BC于点P，∠APB=90°，
∵AB=AC，
∴∠BAP=∠PAC，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD=180°-∠CDB=90°，
∵∠B+∠BAP=180°-∠APB=90°，
∴∠BAP=∠PAC=∠BCD，
∵CE平分∠DCA，
∴∠ACE=∠ECD，
∵∠APC+∠PCA+∠PAC=180°，
∴∠ACE+∠DCE+∠PCD+∠PAC=90°
∴2（∠BCD+∠ECD）=90°，
∴∠BCE=45°，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=90°
∴∠FEC=180°-∠EFC-∠ECF=45°，
∴∠FEC=∠ECF，
∴EF=FC，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=∠APC=90°，
∴EF∥AP，
∴∠BEF=∠BAP=∠BCD，
∵EF⊥BC，
∴∠BFE=∠EFC=90°，
在△BFE和△GFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEF=∠FCG}\\{EF=FC}\\{∠EFB=∠CFG}\end{array}\right.$，
∴△BFE≌△GFC（ASA），
∴BE=CG=m+n，
∴△EGC的面积=$\frac{1}{2}$CG•DE=$\frac{1}{2}$（m+n）•m=$\frac{1}{2}$m（m+n）．

点评 本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的综合运用，题目的难度中等．