Question

已知：如图，正方形ABCD的边长为

3

，E，F分别为BC，CD边上的点，且∠EAF=45°，
EC+CF=2，求△AEF的面积．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：计算题

分析：根据正方形的性质得AD=AB，∠DAB=90°，则可把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，根据旋转的性质得∠ABG=90°，∠FAG=90°，AF=AG，BG=DF，
易得BG与BE共线，则GE=BG+BE=BE+DF，由∠EAF=45°得到∠GAE=45°，然后根据“SAS”可判断△AEF≌△AEG，得到S_△AEF=S_△AEG，由于正方形ABCD的边长为

3

，EC+CF=2，所以BE+EC+CF+DF=2

3

，则BE+DF=2

3

-2，于是GE=2

3

-2，然后根据三角形面积公式求解．

解答：解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∴把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，如图，
∴∠ABG=90°，∠FAG=90°，AF=AG，BG=DF，
而∠ABC=90°，
∴BG与BE共线，
∴GE=BG+BE=BE+DF，
∵∠EAF=45°，
∴∠GAE=90°-∠EAF=45°，
在△AEF和△AEG中，

AE=AE ∠EAF=∠EAG AF=AG

，
∴△AEF≌△AEG（SAS），
∴S_△AEF=S_△AEG，
∵正方形ABCD的边长为

3

，EC+CF=2，
∴BE+EC+CF+DF=2

3

，
∴BE+DF=2

3

-2，
∴GE=2

3

-2，
∴S_△AEG=

1

2

AB•GE=

1

2

×

3

×（2

3

-2）=3-

3

，
∴S_△AEF=3-

3

．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了三角形全等的判定与性质以及正方形的性质．