Question

17．如图，OA=0B，AC=BD，0A⊥AC，0B⊥BD，OM⊥CD于M，求证：OM平分∠A0B．

Answer 1

分析 连接OC、OD，可先证明△OAC≌△OBD，得到∠AOC=∠BOD，OC=OD，再证明△OCM≌△ODM，得到∠MOC=∠MOD，根据等式的性质即可得出结论．

解答 证明：连接OC、OD，
∵0A⊥AC，0B⊥BD，
∴∠A=∠B=90°，
在△OAC和△OBD中
$\left\{\begin{array}{l}{AO=BO}\\{∠A=∠B}\\{AC=BD}\end{array}\right.$，
∴△OAC≌△OBD，
∴∠AOC=∠BOD，OC=OD，
∵OM⊥CD，
∴∠OMC=∠OMD=90°，
在Rt△OMC和Rt△OMD中
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OD}\\{OM=OM}\end{array}\right.$，
∴Rt△OMC≌Rt△OMD（HL），
∴∠COM=∠DOM，
∴∠AOC+∠COM=∠BOD+∠DOM，
∴∠AOM=∠BOM，
即OM平分∠AOB．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．