Question

6．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ACD∽△BFD；
（2）若AC=BF，求∠ABD的度数．

Answer 1

分析 （1）由在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，易得∠ADC=∠BDF，∠CAD=∠CBE，继而证得结论；
（2）由△ACD∽△BFD，AC=BF，根据相似三角形的对应边成比例，可得BD=AD，即△ABD是等腰直角三角形，则可求得答案．

解答 （1）证明：∵在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠BDF=∠BEC=90°，
∴∠C+∠CBE=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠CBE=∠DAC，
∴△ACD∽△BFD；

（2）解：∵△ACD∽△BFD，
∴AD：BD=AC：BF，
∵AC=BF，
∴BD=AD，
∵∠ADB=90°，
∴∠ABD=45°．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．注意证得△ABD是等腰直角三角形是关键．