题目内容
（2009•咸宁）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC=90°+
∠A；②以E为圆心，BE为半径的圆与以F为圆心，CF为半径的圆外切；
③设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn；
④EF不能成为△ABC的中位线．
其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上，答案格式如：“①，②，③，④”）
【答案】分析：此题涉及的知识点较多，逐一分析解答．
①根据三角形内角和定理求解；
②根据两圆位置关系的判定方法求解；
③根据三角形AEF的面积=三角形AOE的面积+三角形AOF的面积求解；
④若此三角形为等边三角形，则EF即为中位线．
解答：
解：①中，∠BOC=180°-（
∠ABC+
∠ACB）=180°-
（180°-∠A）=90°+
∠A．所以①正确；
②中，∠EBO=∠EOB，则EB=EO，同理FO=FC；则以E为圆心，BE为半径的圆经过点O．同理，以F为圆心，CF为半径的圆也经过点O，则这两个圆外切，所以②正确；
③中，连接AO，则AO也是此三角形的角平分线，则点O到AB与到AC的距离相等，则三角形AEF的面积=三角形AOE的面积+三角形AOF的面积，又高相等，则等于
mn，这与原题不符，所以此项错误；
④连AO，设EF是△ABC的中位线，
∵EF‖BC，∠ABO=∠CBO，
∴OE=BE=
•AB，
∴∠AOB=90°（三角形一边上的中线等于这边的一半，是直角三角形）
同理∠AOC=90°，
∴O的应该在BC上，
EF与BC重合，
∴E、F不可能是三角形ABC的中点，即EF不可能是△ABC的中位线．
所以此项正确；
正确的结论是①、②、④．
点评：本题考查的内容比较全面，信息量较大，遇到此类题目要逐一分析，从而得出结论．
①根据三角形内角和定理求解；
②根据两圆位置关系的判定方法求解；
③根据三角形AEF的面积=三角形AOE的面积+三角形AOF的面积求解；
④若此三角形为等边三角形，则EF即为中位线．
解答：
解：①中，∠BOC=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A．所以①正确；②中，∠EBO=∠EOB，则EB=EO，同理FO=FC；则以E为圆心，BE为半径的圆经过点O．同理，以F为圆心，CF为半径的圆也经过点O，则这两个圆外切，所以②正确；
③中，连接AO，则AO也是此三角形的角平分线，则点O到AB与到AC的距离相等，则三角形AEF的面积=三角形AOE的面积+三角形AOF的面积，又高相等，则等于
mn，这与原题不符，所以此项错误；④连AO，设EF是△ABC的中位线，
∵EF‖BC，∠ABO=∠CBO，
∴OE=BE=
•AB，∴∠AOB=90°（三角形一边上的中线等于这边的一半，是直角三角形）
同理∠AOC=90°，
∴O的应该在BC上，
EF与BC重合，
∴E、F不可能是三角形ABC的中点，即EF不可能是△ABC的中位线．
所以此项正确；
正确的结论是①、②、④．
点评：本题考查的内容比较全面，信息量较大，遇到此类题目要逐一分析，从而得出结论．
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