Question

17．如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，若∠AOB是锐角，且∠AOB=2∠BOC，则下列结论正确的是（　　）个
①AB=2BC   ②$\widehat{AB}$=2$\widehat{BC}$   ③∠ACB=2∠CAB   ④∠ACB=∠BOC．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 首先取$\widehat{AB}$的中点D，连接AD，BD，由∠AOB=2∠BOC，易得AD=BD=BC，继而证得AB＜2BC，又由圆周角定理，可得∠AOB=4∠CAB，∠ACB=∠BOC=2∠CAB．

解答 解：取$\widehat{AB}$的中点D，连接AD，BD，
∵∠AOB=2∠BOC，
∴$\widehat{AB}$=2$\widehat{BC}$，故②正确，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$=$\widehat{BC}$，
∴AD=BD=BC，
∵AB＜AD+BD，
∴AB＜2BC．故①错误，
∵∠AOB=2∠BOC，∠BOC=2∠CAB，
∴∠AOB=4∠CAB，
∵∠AOB=2∠ACB，
∴∠ACB=∠BOC=2∠CAB，故③④正确．
故选C．

点评 此题考查了弧、弦与圆心角的关系以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．