Question

如图P是△ABC所在平面上一点．如果∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P就叫做费马点．

（1）当△ABC是等边三角形时，作尺规法作出△ABC费马点．（不要求写出作法，只要保留作图痕迹）

（2）已知：△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=BC=．四边形CDPE是正方形，CD在AC上，CE在BC上，P是△ABC的费马点．求：P点到AB的距离．

（3）已知：锐角△ABC，分别以AB，AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P点．

①求∠CPD的度数；

②求证：P点为△ABC的费马点．

Answer 1

解：（1）△ABC费马点如图所示：

（2）连接AP，BP，CP并延长交AB于Q点．

∵P是△ABC费马点，

∴∠APC=∠BOC=120°．

∵四边形CDPE是正方形，

∴∠PCD=∠PCE=45°．

∵CP=CP，

∴△ACP≌△DCP．

∴AP=BP．

∴CQ⊥AB．

∵∠APC=120°，

∴∠APQ=60°．

∴PQ=AQ3．

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=2AC=2×6=23．

AQ=AB2=3，

∴PQ=33=1．

（3）①∵△ACE≌△ABD，

∵∠1=∠2，

∵∠3=∠4，

∵∠CPD=∠5=60°． ②∵△ADF∽△CFP，

∴AFPF=DFCF．

∵∠AFP=∠CFD，

∴△AFP∽△CDF．

∴∠APF=∠ACD=60°．

∴∠APC=∠CPD+∠APF=120°．

∴∠BPC=120°．

∴∠APB=360°-∠BPC-∠APC=120°．

∴P点为△ABC的费马点．