Question

1．如图（1），在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，连接BD．现将一个足够大的直角三角板的直角顶点P放在BD所在的直线上，一条直角边过点C，另一条直角边与AB所在的直线交于点G．
（1）是否存在这样的点P，使点P、C、G为顶点的三角形与△GCB全等？若存在，画出图形，并直接在图形下方写出BG的长．（如果你有多种情况，请用①、②、③、…表示，每种情况用一个图形单独表示，如果图形不够用，请自己画图）
（2）如图（2），当点P在BD的延长线上时，以P为圆心、PB为半径作圆分别交BA、BC延长线于点E、F，连EF，分别过点G、C作GM⊥EF，CN⊥EF，M、N为垂足．试探究PM与FN的关系．

Answer 1

分析 （1）只需分点G在线段AB上（如图①）、在线段AB的延长线上（如图②）、在线段AB的反向延长线上（如图③）三种情况讨论，即可解决问题；
（2）如图2，由（1）可知，此时BG=PG=$\frac{16}{3}$，BC=PC=4．易证△PGM∽△CPN，从而可得PM=$\frac{4}{3}$CN；易证△FNC∽△BCD，从而可得FN=$\frac{4}{3}$CN，即可得到PM=FN．

解答 解：（1）存在点P，使点P、C、G为顶点的三角形与△GCB全等．
①若点G在线段AB上，如图①．

当BG=PC时，根据HL可得Rt△GBC≌Rt△CPG，
此时∠GCB=∠CGP，∠GPC=∠CBG=90°
∴PG∥BC，
∴∠GPC+∠PCB=180°．
∵∠GPC=90°，
∴∠PCB=90°，
∴点P在点D处，
∴BG=PC=DC=AB=3；

②若点G在线段AB的延长线上，如图②．

当BG=PC时，根据HL可得Rt△GBC≌Rt△CPG，
此时BC=PG，∠GCB=∠CGP，
∴OG=OC，OB=OP，
∴∠PBO=∠BPO=$\frac{1}{2}$（180°-∠BOP），
∠OCG=∠OGC=$\frac{1}{2}$（180°-∠GOC）．
∵∠BOP=∠GOC，
∴∠PBO=∠OCG，
∴BD∥CG．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，即BG∥DC，
∴四边形BGCD是平行四边形，
∴BG=CD=3；
③若点G在线段AB的反向延长线上，如图③．

当PC=BC时，根据HL可得Rt△GBC≌Rt△GPC，
此时BG=PG，
∴点G、C在BP的垂直平分线上，
∴GC垂直平分BP，
∴∠BGC+∠GBD=90°．
∵∠CBD+∠GBD=90°，
∴∠BGC=∠CBD．
又∵∠GBC=∠BCD=90°，
∴△GCB∽△BDC，
∴$\frac{BG}{BC}$=$\frac{BC}{CD}$．
∵BC=4，CD=3，
∴$\frac{BG}{4}$=$\frac{4}{3}$，
∴BG=$\frac{16}{3}$；

（2）PM=FN，理由：如图2，

由（1）③可知，此时△GBC≌△GPC，且BG=PG=$\frac{16}{3}$，BC=PC=4．
∵GM⊥EF，CN⊥EF，
∴∠GMP=∠PNC=90°，
∴∠MGP+∠GPM=90°．
∵∠GPC=90°，
∴∠GPM+∠NPC=90°，
∴∠MGP=∠NPC，
∴△PGM∽△CPN，
∴$\frac{PM}{CN}$=$\frac{PG}{CP}$．
∴$\frac{PM}{CN}$=$\frac{\frac{16}{3}}{4}$=$\frac{4}{3}$，即PM=$\frac{4}{3}$CN．
∵PB=PF，
∴∠F=∠PBC．
又∵∠FNC=∠BCD=90°，
∴△FNC∽△BCD，
∴$\frac{FN}{BC}$=$\frac{CN}{DC}$．
∵BC=4，DC=3，
∴$\frac{FN}{4}$=$\frac{CN}{3}$，
∴FN=$\frac{4}{3}$CN，
∴PM=FN．

点评 本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆的定义、线段垂直平分线性质定理及其逆定理等知识，运用分类讨论的思想是解决第（1）小题的关键，利用相似三角形的性质是解决第（2）小题的关键．