题目内容
8．武汉某道路改造工程，若由甲、乙两工程队合作20天可完成；若甲工程队先单独施工40天，再由乙工程队单独施工10天也可完成．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
（2）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，并且要求整个工期不能超过30天，问如何安排甲、乙工程队做这项工程使得花费最少？
分析 （1）设甲工程队单独完成此项工程需要x天，则乙工程队单独完成此项工程需要$\frac{20x}{x-20}$天，根据“若甲工程队先单独施工40天，再由乙工程队单独施工10天也可完成”，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；
（2）设甲工程队施工m天，则乙工程队施工（30-0.5m）天，由整个工期不能超过30天，可得出m≤30，设甲、乙工程队完成这项工程需付施工费w万元，根据总费用=每日费用×天数，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
解答 解：（1）设甲工程队单独完成此项工程需要x天，则乙工程队单独完成此项工程需要$\frac{20x}{x-20}$天，
根据题意得：$\frac{40}{x}$+$\frac{10}{\frac{20x}{x-20}}$=1，
解得：x=60，
经检验，x=60是原方程的解，
∴$\frac{20x}{x-20}$=30．
答：甲工程队单独完成此项工程需要60天，乙工程队单独完成此项工程需要30天．
（2）设甲工程队施工m天，则乙工程队施工（30-0.5m）天，
∵整个工期不能超过30天，
∴m≤30．
设甲、乙工程队完成这项工程需付施工费w万元，
根据题意得：w=m+2.5×（30-0.5m）=-0.25m+75，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=30时，w取最小值，最小值=-0.25×30+75=22.5，此时30-0.5m=30-0.5×30=15．
答：安排甲、乙工程队同时施工，甲工程队施工30天、乙工程队施工15天，施工费最低，最低施工费为22.5万元．
点评 本题考查了一次函数的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）根据总工作量=甲工程队完成的工作量+乙工程队完成的工作量，列出关于x的分式方程；（2）根据数量关系，找出w关于m的函数关系式．
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