Question

5．猜想与证明：
如图，摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM，EM．
（1）试猜想写出DM与EM的数量关系，并证明你的结论．
拓展与延伸：
（2）若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．

Answer 1

分析 （1）结论：DM=EM．只要证明△FME≌△AMH，推出HM=EM，在直角△HDE中利用斜边中线的性质即可证明．
（2）结论不变．证明方法类似．

解答 解：（1）结论：DM=EM．
理由：如图1，延长EM交AD于点H，

∵四边形ABCD和ECGF是矩形，
∴AD∥EF，
∴∠EFM=∠HAM，
又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，
在△FME和△AMH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EFM=∠HAM}\\{FM=AM}\\{∠FME=∠AMH}\end{array}\right.$，
∴△FME≌△AMH，
∴HM=EM，
在直角△HDE中，HM=EM，
∴DM=HM=EM，
∴DM=EM．

（2）成立．（证明方法类似），

点评 本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．