题目内容

已知直线y=-4x-4与x轴交于点A，与y轴交于点C，直线y=x-b过点C，与x轴交于点B．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）动点D从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时，动点E从点B出发，沿线段BC向终点C运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．
①连接ED，设△BDE的面积为S，求S与t的函数关系式．
②在运动过程中，当△BDE为等腰三角形时，直接写出t的值．

解：（1）在y=-4x-4中，令y=0
得：-4x-4=0，
解得：x=-1，则A的坐标是（-1，0），
令x=0，解得：y=-4，则C的坐标是（0，-4），
代入y=x-b得：-b=-4，解得：b=4，
则直线的解析式是：y=x-4，
令y=0，解得：x=4，则B的坐标是（4，0）．

（2）①作EF⊥x轴于点F．
∵A的坐标是（-1，0），B的坐标是（4，0），C的坐标是（0，-4），
∴AB=5，OB=4，OC=4
则BD=5-t，△OBC是等腰直角三角形．
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴EF= $\text{[math]}$ BE= $\text{[math]}$ t，
∴S= $\text{[math]}$ BD•EF= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ t（5-t），
即函数解析式是：S= $\text{[math]}$ t- $\text{[math]}$ t²．

②当BD=BE时，BD=5-t，则可以得到5-t=t，解得：t= $\text{[math]}$ ；
当BD=DE时，△BEF是等腰直角三角形，则BE是斜边，因而BE= $\text{[math]}$ BD，则t= $\text{[math]}$ （5-t）
解得：t=10-5 $\text{[math]}$ ；
当DE=BE时，△BEF是等腰直角三角形，则BD是斜边，因而BD= $\text{[math]}$ BE，即5-t= $\text{[math]}$ t，解得：t=5（ $\text{[math]}$ -1）．
则t= $\text{[math]}$ 或10-5 $\text{[math]}$ 或5（ $\text{[math]}$ -1）．
分析：（1）在直线y=-4x-4中，令y=0即可求得A的横坐标，则A的坐标可以求得，令x=0，即可求得C的纵坐标，则A、C的坐标可以求得，把C的坐标代入y=x-b的解析式，即可求得b的值，则B的坐标可以求得；
（2）①作EF⊥x轴于点F，则AD=BE=x，△BEF是等腰直角三角形，利用t表示出BD，EF的长，利用三角形的面积公式即可求得函数的解析式；
②当BD=BE时，BD=5-t，则可以得到5-t=t，求得t的值；
当BD=DE时，△BEF是等腰直角三角形，则BE是斜边，因而BE= $\text{[math]}$ BD，则可以得到关于t的方程，求得t的值；
当DE=BE时，△BEF是等腰直角三角形，则BD是斜边，因而BD= $\text{[math]}$ BE，则可以得到关于t的方程，求得t的值．
点评：本题考查了一次函数与等腰直角三角形的性质的综合应用，正确对等腰三角形进行讨论，在后边的两种情况下，认识到△BEF是等腰直角三角形是解题的关键．