Question

14．已知∠AOB内部有三条射线，其中，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC．
（1）如图1，若∠AOB=90°，∠AOC=30°，求∠EOF的度数；
（2）如图2，若∠AOB=α，求∠EOF的度数（用含α的式子表示）；
（3）若将题中的“平分”的条件改为“∠EOB=$\frac{1}{3}$∠COB，∠COF=$\frac{2}{3}$∠COA”，且∠AOB=α，用含α的式子表示∠EOF的度数为$\frac{2}{3}$α．

Answer 1

分析 （1）首先根据角平分线的定义求得∠COF，然后求得∠BOC的度数，根据角平分线的定义求得∠EOC，然后根据∠EOF=∠COF+∠EOC求解；
（2）根据角平分线的定义可以得到∠COF=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠EOC=$\frac{1}{2}$∠BOC，然后根据∠EOF=∠COF+∠EOC=$\frac{1}{2}$∠AOC+$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$（∠AOC+∠BOC）即可得到；（3）根据∠EOB=$\frac{1}{3}$∠COB，可以得到，∠EOC=$\frac{2}{3}$∠COB，则∠EOF=∠EOC+∠COF=$\frac{2}{3}$∠BOC+$\frac{2}{3}$∠AOC=$\frac{2}{3}$∠AOB，从而求解．

解答 解：（1）：（1）∵OF平分∠AOC，
∴∠COF=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×30°=15°，
∵∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-30°=60°，OE平分∠BOC，
∴∠EOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°，
∴∠EOF=∠COF+∠EOC=45°；
（2））∵OF平分∠AOC，
∴∠COF=$\frac{1}{2}$∠AOC，
同理，∠EOC=$\frac{1}{2}$∠BOC，
∴∠EOF=∠COF+∠EOC=$\frac{1}{2}$∠AOC+$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$（∠AOC+∠BOC）=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$α；
（3）∵∠EOB=$\frac{1}{3}$∠COB，
∴∠EOC=$\frac{2}{3}$∠COB，
∴∠EOF=∠EOC+∠COF=$\frac{2}{3}$∠COB+$\frac{2}{3}$∠COA=$\frac{2}{3}$∠BOC+$\frac{2}{3}$∠AOC=$\frac{2}{3}$∠AOB=$\frac{2}{3}$α．

点评 本题考查了角平分线的性质，以及角度的计算，正确理解角平分线的定义是关键．