Question

设M=

1

1+ 2

+

1

2 + 3

+

1

3 + 4

+…+

1

2008 + 2009

，N=1-2+3-4+5-6+…+2009-2010．试求

N

(M+1)2+1

的值．

Answer 1

分析：将M中的每一项分母有理化化简，抵消合并得到结果，将N中第一、二项结合，三、四项结合，依此类推，分别求出值，得到1005个-1的和，得到结果，将M和N求出的结果代入所求式子中计算，即可求出值．

解答：解：∵M=

2 -1

(1+ 2 )( 2 -1)

+

3 - 2

( 2 + 3 )( 3 - 2 )

+…+

2009 - 2008

( 2008 + 2009 )( 2009 - 2008 )

=

2

-1+

3

-

2

+

4

-

3

+…+

2009

-

2008

=

2009

-1，
N=（1-2）+（3-4）+（5-6）+…+（2009-2010）=（-1）+（-1）+…+（-1）=-1005，
∴

N

(M+1)2+1

=

-1005

( 2009 -1+1)2+1

=-

1

2

．

点评：此题考查了二次根式的化简求值，其技巧性较强，要求学生掌握要知识全面．